\begin{equation} f(t+2) = f(t+1) + f(t) \label{eq:f1} \end{equation} \eqref{eq:f1}の両辺をf(t+1)で割ると \begin{equation} \frac{f(t+2)}{f(t+1)} = \frac{f(t+1)}{f(t+1)} + \frac{f(t)}{f(t+1)} \label{eq:f2} \end{equation} g(t)を以下のように定義すると \begin{equation} g(t) = \frac{f(t+1)}{f(t)} \label{eq:f3} \end{equation} \eqref{eq:f3}よりtをt+1で置き換えると \begin{equation} g(t+1) = \frac{f(t+2)}{f(t+1)} \label{eq:f4} \end{equation} \eqref{eq:f2},\eqref{eq:f3},\eqref{eq:f4}より \begin{equation} g(t+1) = 1 + \frac{1}{g(t)} \label{eq:f5} \end{equation} 微分の定義式は以下の関数である \begin{equation} f'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{f(t+h) - f(t)}{h} \label{eq:f6} \end{equation} \eqref{eq:f6}について、hの1セルが微小区間に見えるなら以下の式が成立する \begin{equation} f'(t) = \lim_{h \to 1} \frac{f(t+1) - f(t)}{1} \label{eq:f7} \end{equation} \eqref{eq:f7}より \begin{equation} f'(t) = f(t+1) - f(t) \label{eq:f8} \end{equation} \eqref{eq:f8}より \begin{equation} f(t+1) = f(t) + f'(t) \label{eq:f9} \end{equation} f(t)は以下のように予測して仮定すると \begin{equation} f(t) = at^2 + bt + c \label{eq:f10} \end{equation} \eqref{eq:f3},\eqref{eq:f9},\eqref{eq:f10}より \begin{equation} g(t) = 1 + \frac{f'(t)}{f(t)} = 1 + \frac{2at + b}{at^2 + bt + c} = 1 + \frac{\frac{2a}{t} + \frac{b}{t^2}}{a + \frac{b}{t} + \frac{c}{t^2}} \label{eq:f11} \end{equation} \eqref{eq:f11}より、tが大きな値なら$$ \frac{1}{t^2} $$の項は無視できるほど小さい \begin{equation} g(t) \approx 1 + \frac{\frac{2a}{t}}{a + \frac{b}{t}} \approx 1 + \frac{2a}{at + b} \label{eq:f12} \end{equation}